简单记一下自己可能用的到的代数结论。
Lagrange’s Theorem
\[\small\mathrm{IF}\normalsize\enspace H\leq G,\small\mathrm{THEN}\normalsize\enspace\abs{H}\enspace\text{divides}\abs{G}\]并不是存在性结论比如 $\abs{A_4}=12$，但它其他阶的都有就是没有阶为6的子群。证明基本上用陪集思想：
给 $G$ 划分为不相交的左陪集：$H,g_1 H,g_2 H,\cdots,g_n H$只有 H 是子群，其他陪集不是群。每个陪集大小都相同。所以每个陪集大小乘以陪集个数等于群的阶。陪集的个数称为 $G$ 的 index 记作：$\abs{G:H}$。
正规子群是他的所有陪集构成以它划分的商群的子群。充要条件是
\[\forall y\in G,y^{-1}Ny=N\colon N\leq G\]可见 阿贝尔群的所有子群都是它的正规子群
循环群只有两加一种
- 无限：$\mathbb{Z},+$
- 有限：$\mathbb{Z/nZ},+$
有一说一，$\pqty{\mathbb{Z/nZ},+}$ 里的元素应该都是一个陪集吧，这样写成 {0,1,2,3,…,n} 是不是不正规啊
想明白了，说成整数集 $\qty{0,1,2,3,…,n}$ 肯定是不行的，连群都不是；但如果说成模 $n$ 整数群就可以了，并且是群。因为所有元素不是整数，都是模 $n$ 整数。比如拿模 $n$ 整数 1 当生成元，1 加加加加到模 $n$ 整数 $n+1$，就是 1。就自带了 $\bmod$ 运算了。感觉确实对，但不推荐。
有一说一，模 $n$ 整数群 $\qty{0,1,2,3,…,n}$ 不就是等价类群 $\qty{\bar0,\bar1,\bar2,\bar3,…,\bar n}$
- 以及平凡群 $\qty{e}$
同态单位元映射到单位元，对应元素的逆映射到逆。
核就是 $G$ 同态映射到 $H$ 单位元的所有元素，所以核是同态的属性，而不是群。核是 $G$ 的子群。如果同态不是单射，核就有多个元素 $x_i*x^{-1}_1$。所以核也可以用来描述同态的不单射的程度。最小就是一个单位元，毕竟单位元映射到单位元。这种情况就单射了。
无限阶加法群的元素好像没有有限阶？怎么加都加不到0。
对称群就是某有限集合中所有元素的排列组合。运算是排列组合的复合，非交换。比如 $\qty{1,2,3,4}$ 就有 $4!$ 种排列组合。任何有限群都是对称群的一个子群。
permutation 排列组合可以写成 cycle 之间连接，乘法形式。二元 cycle 也叫置换。不同 cycle 之间的顺序可交换，但只有在不同 cycle 之间没有重复元素的前提下。
矩阵群是无限非交换群，因为一般研究的都是乘法。一般也就只有方阵，如果有非方阵会发现两个元素不能相乘。行列式也不能为 0，不然没有逆。于是就有了我在格基础知识里用到的 General Liner Group，$GL_n(\mathbb{R})$。这里面非常重要的一个子群是 Special Liner Group，$SL_n(\mathbb{R})$ 行列式为 1的元素。反正也不一定是 $\mathbb{R}$，也可以是 $\mathbb{C}$ 啥的，以及任何域包括有限域。
素数就是所有数的 building block，所有数都可以拆成素数。类似化学元素周期表。
直积运算例子走一走：
\[\begin{aligned} &G_1=\mathbb{Z}\enspace\text{under}\enspace +\\ &G_2=\qty{1,-1,i,-i}\enspace\text{under}\enspace\times\\ &G_1\times G_2=\qty{\pqty{x,y}\mid x\in\mathbb{Z},y\in G_2} \end{aligned}\]群操作如
\[\pqty{7,-1}\cdot\pqty{-3,i}=\pqty{7-3,-1\cdot i}=\qty{4,-i}\]单位元是 $\pqty{0,1}$
非交换群的直积也是非交换群。反之亦然。任何有限生成交换群都是整数群和模不同 $n$ 整数群的直积。
有限群可以拆成单群，类似素数，又到了元素周期表。单群就是正规子群只有单位元和这个群本身的群。所有单群已经找完了：
- $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，$p$是素数。根据拉格朗日定理，子群只有平凡群和他本身。都是可交换的。
- $A_n\colon n\geq5$。所有5阶及以上的交错群。找5次多项式求根公式时发现的。都是不可交换的。
- 李群。李群又是群又是流形(Manifolds)。流形局部类似 $\mathbb{R}_n$，全局来看又完全不一样。所有长度小于 1 的复数在乘法下组成一个群，并且是一个圆，也就是一维的流形。如：
群 $M$：$n\times n$ 可逆实数方阵
\[M=\qty{A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}\end{pmatrix}\qq{where}\det(A)\ne 0}\] \[M \to\left(a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1 n}, a_{21}, a_{22}, \ldots, a_{2 n}, \ldots, a_{n n}\right) \in \mathbb{R}^{n^{2}}\] \[M=\mathbb{R}^{n^{2}}-\qty{行列式为 0 的矩阵}\]草 为什么 physics 的 js 里面没有 mqty 佛了
很难想象得到个什么鬼，总之最终剩下的是个流形。李群在线性代数，微分几何，群论的交集里。像上文的圈一样，李群都是无限群，数学家在找有限群。比如有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上的矩阵。这种群叫做李型群(lie type)
- 最后一类中文也叫单群(sporadic group)，
蜜汁翻译，散在群？这么叫是因为他不合适分在任何一个类别里。总之，有一个特别特别的，魔群。反正就很大。
环简单说就是加减乘不包括除(未必是这俩二元运算)，乘也不满足交换律。比如 $2\times 2$ 实矩阵成为一个环，但乘法不能交换。
不光是数，有很多奇奇怪怪的东西也是一个环，比如多项式和矩阵。$\mathbb{Z}$ 就是一个环。可以加减乘但不能除。除一除么就有小数了，环在加乘上还是要封闭的。乘法上有诸多限制但至少还是结合的。结合加法又多了个分配律。环上的乘法是否有单位元甚至还在争议，所以有的作者会特意强调 ring with identity，或者叫 rng 表示没有单位元的环。没有单位元的交换环比如所有偶数。类似偶系数方阵就是没有单位元的非交换环。环有对应一些属性咱就叫他交换环，除环(division ring)，又交换又有逆元么直接就成域了，当然还得有单位元。
任何环做系数的多项式都是多项式环。包括整数，复数，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，矩阵。$\mathbb{Z}$ 是个环，$n\mathbb{Z}$ 是个理想。如果 $n$ 是素数，这个商环就形成一个域，因为每一个元素都能找到乘法逆元。所有域都是一个环。
环里有一些元素有乘法逆元，就管这些元素叫 units。$R$ 的 units 的集合记作 $R^\times$。比如交换环 $\mathbb{Z}$，只有 $\mathbb{Z}^\times=\qty{1,-1}$ 是 unit。$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 就有 $\qty{1,5,7,11}$ 四个 unit，也就是跟 12 互质的数。不管怎么样，units 形成一个乘法群。units 的数乘叫做 associates。比如对于上文提到的 $Z$，$\qty{2,-2},\qty{3,-3}$ 都是associate，在整数分解中会用到。
理想之于环就相当于正规子群之于群。加法下因为 $R$ 是交换群，所以所有 $I$ 都是正规子群。因为乘法封闭性，我们要求 $i_1y+xi_2+i_1i_2\in I$，因此 $iy\in I,xi\in I\colon\forall x,y\in R,i\in I$，这样商环 $R/I$ 就是一个环。
理想的这个公理源于乘法的性质。好比任何数乘以一个 5 的倍数，得到一个5的倍数，任何环元素乘以理想，得到一个理想的元素。理想基本上是一个子环，唯一差一点的就是一。左理想和右理想就很好理解了，但感觉我这种啥鸾一般用不到，因为都是交换环。也不对，也有矩阵。理想就既是左理想又是右理想。至于为什么叫理想好像是 19 世纪数学家研究整数，素数和分解时起的名字，但理想并不是子环因为他不包含单位元。
域的乘法逆元只有非零元素，等于说 0 是一个特例 毕竟高贵为加法单位元。所以说 $\langle F,+\rangle$ 和 $\langle F^\times,\cdot\rangle$ 都是交换群。实际上就是在两个操作上同时是两个交换群。典中典之从小学到大的有理数 $\mathbb{Q}$。$\mathbb{Q}$ 本身就是 quotient 的意思，毕竟每个有理数都可以表示成两个整数的商。
无限域 $\mathbb{Q}$ 和有限域 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 作为素域，任何域 $F$ 都含且仅含有一个的素域。$F$ 叫做拓展域。比如 $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ 就是 $\alpha+\beta\sqrt 2\colon\alpha,\beta\in\mathbb{Q}$。还有个 characteristc $\text{char}(p)$ 表明它含有哪一个素域。给 $\mathbb{Q}$ 全加完就成 $\mathbb{R}$ 了，在加加就成 $\mathbb{C}$ 了，再往上加，加不上去了。多项式好像不能作为域，只能是有理函数了8。
向量空间在未必是加法下是一个交换群。以及一个未必是 $\mathbb{R}$ 域上的数乘运算。总之向量在群里面，标量在域里面。
模就非常类似了，只不过标量在环里面。不过不能叫模里面的元素向量。标量在左在右又叫左模右模(毕竟环未必都是可交换的)。所有阿贝尔群本身就是一个 $\mathbb{Z}-$模。$2\times 3$ 的矩阵就组成一个模。模比域涵盖的范围更广，比如定义群 $\langle M=\mathbb{R}^3,+\rangle$，标量环为 $3\times 3$ 实矩阵。乘法就可以定义成矩阵乘法。
对于线性空间，只要确定了基向量，每个向量都可以表示为有限域标量元素的 $n-$元组。所以他同构于 $F^n$。对于模，可以构造类似的同构于 $R^n$ 的模，但这只是一种约束和复杂度最 free 的。比如也可以构造如 $M=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times8\mathbb{Z}$ 就是有限生成的 $\mathbb{Z}-$模。总之，用了环就可以做环能做但域做不到的东西。比如环有理想，可以生成商环，域就不行。理想和商环都是 $R$-模。
